Persamaan Pembezaan Linear vs Nonlinear
Persamaan yang mengandungi sekurang-kurangnya satu pekali pembezaan atau terbitan pembolehubah yang tidak diketahui dikenali sebagai persamaan pembezaan. Persamaan pembezaan boleh berupa linear atau tidak linear. Skop artikel ini adalah untuk menjelaskan apa itu persamaan pembezaan linear, apa itu persamaan pembezaan tak linear, dan apakah perbezaan antara persamaan pembezaan linear dan tidak linear.
Sejak perkembangan kalkulus pada abad ke-18 oleh ahli matematik seperti Newton dan Leibnitz, persamaan pembezaan telah memainkan peranan penting dalam kisah matematik. Persamaan pembezaan sangat penting dalam matematik kerana pelbagai aplikasinya. Persamaan pembezaan berada di tengah-tengah setiap model yang kami kembangkan untuk menjelaskan apa-apa senario atau peristiwa di dunia sama ada dalam bidang fizik, kejuruteraan, kimia, statistik, analisis kewangan, atau biologi (senarai ini tidak ada habisnya) Sebenarnya, sehingga kalkulus menjadi teori yang mapan, alat matematik yang tepat tidak dapat digunakan untuk menganalisis masalah yang menarik di alam ini.
Hasil persamaan dari aplikasi kalkulus tertentu mungkin sangat kompleks dan kadangkala tidak dapat diselesaikan. Namun, ada yang dapat kita selesaikan, tetapi mungkin kelihatan sama dan membingungkan. Oleh itu, untuk pengenalan yang lebih mudah, persamaan pembezaan dikategorikan berdasarkan tingkah laku matematiknya. Linear dan nonlinear adalah salah satu pengkategorian tersebut. Penting untuk mengenal pasti perbezaan antara persamaan pembezaan linear dan tidak linear.
Apakah Persamaan Pembezaan Linear?
Anggap f: X → Y dan f (x) = y, persamaan pembezaan tanpa istilah tidak linear fungsi y yang tidak diketahui dan turunannya dikenali sebagai persamaan pembezaan linear.
Ini menetapkan syarat bahawa y tidak boleh mempunyai istilah indeks yang lebih tinggi seperti y 2, y 3,… dan gandaan turunan seperti
Ia juga tidak boleh mengandungi istilah tidak linear seperti Sin y, e y ^ -2, atau ln y. Ia mengambil bentuk,
di mana y dan g adalah fungsi x. Persamaan adalah persamaan pembezaan bagi pesanan n, yang merupakan indeks turunan tertib tertinggi.
Dalam persamaan pembezaan linear, operator pembezaan adalah operator linear dan penyelesaiannya membentuk ruang vektor. Sebagai hasil dari sifat linier dari set penyelesaian, kombinasi linear dari penyelesaian juga merupakan penyelesaian untuk persamaan pembezaan. Maksudnya, jika y 1 dan y 2 adalah penyelesaian persamaan pembezaan, maka C 1 y 1 + C 2 y 2 juga merupakan penyelesaian.
Linearitas persamaan hanya satu parameter klasifikasi, dan selanjutnya dapat dikategorikan menjadi persamaan pembezaan homogen atau tidak homogen dan biasa atau separa. Sekiranya fungsinya adalah g = 0 maka persamaannya adalah persamaan pembezaan homogen linear. Sekiranya f adalah fungsi dua atau lebih pemboleh ubah bebas (f: X, T → Y) dan f (x, t) = y, maka persamaannya adalah persamaan pembezaan separa linear.
Kaedah penyelesaian untuk persamaan pembezaan bergantung pada jenis dan pekali persamaan pembezaan. Kes paling mudah timbul apabila pekali tetap. Contoh klasik untuk kes ini adalah undang-undang gerakan kedua Newton dan pelbagai aplikasinya. Undang-undang kedua Newton menghasilkan persamaan pembezaan linear orde kedua dengan pekali tetap.
Apakah Persamaan Pembezaan Tidak Linier?
Persamaan yang mengandungi istilah tidak linier dikenali sebagai persamaan pembezaan tidak linear.
Semua di atas adalah persamaan pembezaan tidak linear. Persamaan pembezaan tidak linear sukar diselesaikan, oleh itu, kajian rapi diperlukan untuk mendapatkan penyelesaian yang betul. Sekiranya terdapat persamaan pembezaan separa, kebanyakan persamaan tidak mempunyai penyelesaian umum. Oleh itu, setiap persamaan harus dilayan secara bebas.
Persamaan Navier-Stokes dan persamaan Euler dalam dinamika bendalir, persamaan medan relativiti umum Einstein adalah persamaan pembezaan separa tidak linear yang terkenal. Kadang kala penerapan persamaan Lagrange ke sistem pemboleh ubah boleh mengakibatkan sistem persamaan pembezaan separa tidak linear.
Apakah perbezaan antara Persamaan Pembezaan Linear dan Nonlinear?
• Persamaan pembezaan, yang hanya mempunyai istilah linear pemboleh ubah yang tidak diketahui atau bergantung dan turunannya, dikenali sebagai persamaan pembezaan linear. Ia tidak mempunyai istilah dengan pemboleh ubah bersandar indeks lebih tinggi daripada 1 dan tidak mengandungi banyak turunannya. Ia tidak boleh mempunyai fungsi nonlinier seperti fungsi trigonometri, fungsi eksponensial, dan fungsi logaritmik berkenaan dengan pemboleh ubah bersandar. Sebarang persamaan pembezaan yang mengandungi istilah yang disebutkan di atas adalah persamaan pembezaan tidak linear.
• Penyelesaian persamaan pembezaan linear mewujudkan ruang vektor dan operator pembezaan juga merupakan operator linear dalam ruang vektor.
• Penyelesaian persamaan pembezaan linear relatif lebih mudah dan penyelesaian umum ada. Untuk persamaan tidak linier, dalam kebanyakan kes, penyelesaian umum tidak ada dan penyelesaiannya mungkin bersifat khusus. Ini menjadikan penyelesaiannya lebih sukar daripada persamaan linear.
