Derivatif vs Pembezaan
Dalam kalkulus pembezaan, derivatif dan pembezaan fungsi saling berkaitan tetapi mempunyai makna yang sangat berbeza, dan digunakan untuk mewakili dua objek matematik penting yang berkaitan dengan fungsi yang dapat dibezakan.
Apa itu derivatif?
Derivatif fungsi mengukur kadar di mana nilai fungsi berubah ketika inputnya berubah. Dalam fungsi berbilang pemboleh ubah, perubahan nilai fungsi bergantung pada arah perubahan nilai pemboleh ubah tidak bersandar. Oleh itu, dalam kes seperti itu, arah tertentu dipilih dan fungsinya dibezakan ke arah tertentu. Derivatif itu disebut terbitan arah. Derivatif separa adalah jenis terbitan arah khas.
Derivatif fungsi bernilai vektor f dapat didefinisikan sebagai had di
mana pun ia wujud dengan sempurna. Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, ini memberi kita kadar peningkatan fungsi f sepanjang arah vektor u. Sekiranya fungsi bernilai tunggal, ini mengurangkan definisi derivatif yang terkenal,
Contohnya,
di mana-mana boleh dibezakan, dan terbitannya sama dengan had
yang sama dengan
. Derivatif fungsi seperti
ada di mana-mana. Mereka masing-masing sama dengan fungsi
Ini dikenali sebagai derivatif pertama. Biasanya terbitan pertama fungsi f dilambangkan dengan f (1). Sekarang menggunakan notasi ini, adalah mungkin untuk menentukan turunan turutan yang lebih tinggi.
adalah turunan terarah urutan kedua, dan menunjukkan terbitan ke- n oleh f (n) untuk setiap n
,, mentakrifkan derivatif ke- n.
Apakah pembezaan?
Pembezaan fungsi mewakili perubahan fungsi berkenaan dengan perubahan dalam pemboleh ubah bebas atau pemboleh ubah. Dalam tatatanda yang biasa, yang f fungsi yang diberikan pemboleh ubah x tunggal, jumlah pengkamiran perintah 1 df diberi oleh,
. Ini bermaksud bahawa untuk perubahan kecil dalam x (iaitu dx), akan ada perubahan af (1) (x) dx dalam f.
Menggunakan had seseorang boleh berakhir dengan definisi ini seperti berikut. Andaikan Δ x adalah perubahan x pada titik sewenang-wenang x dan Δ f adalah perubahan yang sepadan dalam fungsi f. Dapat ditunjukkan bahawa Δ f = f (1) (x) Δ x + ϵ, di mana ϵ adalah ralat. Sekarang, had ∆ x → 0 ∆ f / ∆ x = f (1) (x) (menggunakan definisi terbitan yang dinyatakan sebelumnya) dan dengan itu, Δ x → 0 ϵ / ∆ x = 0. Oleh itu, adalah mungkin untuk membuat kesimpulan bahawa, Δ x → 0 ϵ = 0. Sekarang, menunjukkan ∆ x → 0 Δ f sebagai df dan Δ x → 0 ∆ x sebagai dx definisi pembezaan diperoleh dengan ketat.
Sebagai contoh, perbezaan fungsi
adalah
Dalam kes fungsi dua atau lebih pemboleh ubah, perbezaan keseluruhan fungsi didefinisikan sebagai jumlah perbezaan dalam arah setiap pemboleh ubah bebas. Secara matematik, dapat dinyatakan sebagai
Apakah perbezaan antara derivatif dan pembezaan?
• Derivatif merujuk kepada kadar perubahan fungsi sedangkan pembezaan merujuk kepada perubahan fungsi yang sebenarnya, apabila pemboleh ubah bebas mengalami perubahan.
• Derivatif diberikan oleh
tetapi pembezaan diberikan oleh
