Perbezaan Antara Power Series Dan Taylor Series

2024 Pengarang: Mildred Bawerman | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-01-09 22:11

Power Series vs Taylor Series

Dalam matematik, urutan nyata adalah senarai nombor nyata yang disusun. Secara formal, ia adalah fungsi dari kumpulan nombor semula jadi hingga set nombor nyata. Jika _n adalah n ^th tempoh urutan, kita menunjukkan urutan yang oleh atau oleh ₁, a ₂, …, a _n, …. Untuk contoh, pertimbangkan urutan 1, ½, ⅓, …, ¹ / _n, …. Ia boleh dilambangkan sebagai {1 / n}.

Adalah mungkin untuk menentukan siri menggunakan urutan. Satu siri adalah jumlah terma urutan. Oleh itu, untuk setiap urutan, terdapat urutan yang berkaitan dan sebaliknya. Sekiranya {a _n} adalah urutan yang dipertimbangkan, maka, siri yang dibentuk oleh urutan itu dapat ditunjukkan sebagai:

Oleh itu, dalam contoh di atas, siri bersekutu adalah 1+ ¹ / ₂ + ¹ / ₃ + … + ¹ / _n + ….

Seperti namanya, power series adalah jenis siri khas dan digunakan secara meluas dalam Analisis Numerik dan pemodelan matematik yang berkaitan. Seri Taylor adalah siri kekuatan khas yang menyediakan kaedah alternatif dan mudah dimanipulasi untuk mewakili fungsi yang terkenal.

Apakah siri Power?

Seri kuasa adalah rangkaian bentuk

yang bersatu (mungkin) untuk beberapa selang yang berpusat di c. Pekali a _n boleh menjadi nombor nyata atau kompleks, dan tidak bergantung kepada x; iaitu pemboleh ubah dummy.

Sebagai contoh, dengan menetapkan _n = 1 untuk setiap n, dan c = 0, siri kuasa 1 + x + x ² +….. + x ⁿ +… diperoleh. Sangat mudah untuk diperhatikan bahawa apabila x ε (-1,1), rangkaian kuasa ini bertukar menjadi 1 / (1-x).

Satu siri kuasa akan berkumpul apabila x = c. Nilai x yang lain yang mana siri kuasa menyatukan akan selalu berbentuk selang terbuka yang berpusat di c. Maksudnya, akan ada nilai 0≤ R ≤ ∞ sehingga untuk setiap x yang memuaskan | xc | ≤ R, rangkaian daya adalah konvergen dan untuk setiap x yang memuaskan | xc |> R, rangkaian daya adalah berbeza. Nilai R ini disebut jejari penumpuan rangkaian kuasa (R dapat mengambil nilai nyata atau tak terhingga positif).

Seri kuasa boleh ditambah, dikurangkan, dikalikan dan dibahagi dengan menggunakan peraturan berikut. Pertimbangkan dua siri kuasa:

Kemudian,

iaitu seperti istilah ditambahkan atau dikurangkan bersama. Juga, mungkin untuk memperbanyak dan membahagi dua siri kuasa menggunakan identiti,

Apakah siri Taylor?

Seri Taylor didefinisikan untuk fungsi f (x) yang dapat dibezakan tanpa batas pada selang waktu. Andaikan f (x) dapat dibezakan pada selang yang berpusat di c. Kemudian rangkaian kuasa yang diberikan oleh

dipanggil pengembangan siri Taylor fungsi f (x) mengenai c. (Di sini f ⁽ⁿ⁾ (c) menunjukkan derivatif ^ke- n pada x = c). Dalam Analisis Numerik, sebilangan istilah dalam pengembangan tak terhingga ini digunakan dalam mengira nilai pada titik di mana siri ini bertumpu dengan fungsi asalnya.

Fungsi f (x) dikatakan analitik dalam selang waktu (a, b), jika untuk setiap x ε (a, b), siri Taylor f (x) menyatu dengan fungsi f (x). Sebagai contoh, 1 / (1-x) dianalisis (-1,1), kerana pengembangan Taylornya 1 + x + x ² +….. + x ⁿ +… menumpukan pada fungsi pada selang itu, dan e ^x adalah analitik di mana-mana, kerana siri e ^x Taylor menyatu menjadi e ^x untuk setiap nombor nyata x.