Bersekutu vs Komutatif
Dalam kehidupan kita sehari-hari, kita mesti menggunakan nombor setiap kali kita memerlukan ukuran. Di kedai runcit, di stesen minyak, dan bahkan di dapur, kita perlu menambah, mengurangkan, dan mengalikan dua atau lebih kuantiti. Dari amalan kami, kami melakukan pengiraan ini dengan mudah. Kami tidak pernah menyedari atau mempersoalkan mengapa kami melakukan operasi ini dengan cara tertentu. Atau mengapa pengiraan ini tidak dapat dilakukan dengan cara yang berbeza. Jawapannya tersembunyi dalam cara operasi ini ditentukan dalam bidang matematik algebra.
Dalam aljabar, operasi yang melibatkan dua kuantiti (seperti penambahan) ditakrifkan sebagai operasi binari. Lebih tepatnya ialah operasi antara dua elemen dari satu set dan unsur-unsur ini disebut 'operan'. Banyak operasi dalam matematik termasuk operasi aritmetik yang disebutkan sebelumnya dan yang dijumpai dalam teori set, aljabar linear, dan logik matematik dapat didefinisikan sebagai operasi binari.
Terdapat sekumpulan peraturan yang mengatur operasi binari tertentu. Sifat bersekutu dan komutatif adalah dua sifat asas operasi binari.
Lebih banyak mengenai Harta Komutatif
Katakan beberapa operasi binari, dilambangkan dengan simbol ⊗, dilakukan pada unsur A dan B. Sekiranya urutan operan tidak mempengaruhi hasil operasi, maka operasi tersebut dikatakan komutatif. iaitu jika A ⊗ B = B ⊗ A maka operasi itu bersifat komutatif.
Penambahan dan pendaraban operasi aritmetik bersifat komutatif. Urutan nombor yang ditambahkan bersama atau didarabkan tidak mempengaruhi jawapan akhir:
A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Tetapi dalam hal pembagian perubahan dalam urutan memberikan timbal balik yang lain, dan dalam pengurangan perubahan memberikan yang negatif dari yang lain. Oleh itu, A - B ≠ B - A ⇒ 4 - 5 = -1 dan 5 - 4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0.8 dan 5 ÷ 4 = 1.25 [dalam kes ini A, B ≠ 1 dan 0]
Sebenarnya, pengurangan dikatakan anti-komutatif; di mana A - B = - (B - A).
Juga, penghubung logik, konjungsi, gangguan, implikasi, dan kesetaraan, juga bersifat komutatif. Fungsi kebenaran juga bersifat komutatif. Kesatuan operasi dan persimpangan yang ditetapkan adalah komutatif. Penambahan dan produk skalar vektor juga bersifat komutatif.
Tetapi pengurangan vektor dan produk vektor tidak bersifat komutatif (produk vektor dua vektor adalah anti-komutatif). Penambahan matriks bersifat komutatif, tetapi pendaraban dan pengurangannya tidak bersifat komutatif. (Pendaraban dua matriks boleh menjadi komutatif dalam kes-kes khas, seperti pendaraban matriks dengan matriks terbalik atau identiti; tetapi pasti matriks tidak berubah jika matriks tidak mempunyai ukuran yang sama)
Lebih lanjut mengenai Harta Bersekutu
Operasi binari dikatakan bersekutu jika urutan pelaksanaan tidak mempengaruhi hasil apabila terdapat dua atau lebih kejadian pengendali. Pertimbangkan unsur A, B dan C dan operasi binari ⊗. Operasi ⊗ dikatakan bersekutu jika
A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C
Dari fungsi aritmetik asas, hanya penambahan dan pendaraban yang bersekutu.
A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
Pengurangan dan pembahagian tidak bersekutu;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 dan (5 - 4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2.4 dan (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0.2666
Perhubungan, penghubung, dan kesetaraan penghubung logik adalah bersekutu, begitu juga kesatuan operasi dan persimpangan yang ditetapkan. Penambahan matriks dan vektor adalah bersekutu. Produk vektor skalar adalah bersekutu, tetapi produk vektor tidak. Pendaraban matriks hanya bersekutu dalam keadaan khas.
Apakah perbezaan antara Commutative dan Associative Property?
• Kedua-dua harta bersekutu dan harta komutatif adalah sifat khas operasi binari, dan ada yang memuaskannya dan ada yang tidak.
• Sifat-sifat ini dapat dilihat dalam banyak bentuk operasi algebra dan operasi binari lain dalam matematik, seperti persimpangan dan penyatuan dalam teori set atau penghubung logik.
• Perbezaan antara komutatif dan asosiatif adalah bahawa sifat komutatif menyatakan bahawa susunan elemen tidak mengubah hasil akhir sementara harta bersekutu menyatakan, bahawa susunan operasi dijalankan, tidak mempengaruhi jawapan akhir.
