Perbezaan Antara Integrasi Dan Penjumlahan

2024 Pengarang: Mildred Bawerman | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-16 08:40

Integrasi vs Penjumlahan

Dalam matematik sekolah menengah atas, integrasi dan penjumlahan sering dijumpai dalam operasi matematik. Mereka nampaknya digunakan sebagai alat yang berbeza dan dalam situasi yang berbeza, tetapi mereka mempunyai hubungan yang sangat erat.

Lebih lanjut mengenai Penjumlahan

Penjumlahan adalah operasi menambahkan urutan nombor dan operasi tersebut sering dilambangkan dengan huruf besar Yunani sigma Σ. Ia digunakan untuk menyingkat penjumlahan dan sama dengan jumlah / jumlah urutan. Mereka sering digunakan untuk mewakili siri, yang pada dasarnya adalah urutan tak terbatas yang disimpulkan. Mereka juga dapat digunakan untuk menunjukkan jumlah vektor, matriks, atau polinomial.

Penjumlahan biasanya dilakukan untuk berbagai nilai yang dapat diwakili oleh istilah umum, seperti siri yang mempunyai istilah umum. Titik permulaan dan titik akhir penjumlahan masing-masing dikenali sebagai batas bawah dan batas atas penjumlahan.

Contohnya, jumlah turutan a ₁, ₂, ₃, ₄,…, a _n adalah ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _n yang dapat dengan mudah diwakili menggunakan notasi penjumlahan sebagai ∑ ⁿ _{i = 1} a _i; saya dipanggil indeks penjumlahan.

Banyak variasi digunakan untuk penjumlahan berdasarkan aplikasi. Dalam beberapa kes, batas atas dan batas bawah dapat diberikan sebagai selang atau julat, seperti ∑ _1≤i≤100 a _i dan ∑ _{i∈ [1,100]} a _i. Atau ia boleh diberikan sebagai satu set nombor seperti ∑ _i∈P a _i, di mana P adalah satu set yang ditentukan.

Dalam beberapa kes, dua atau lebih tanda sigma dapat digunakan, tetapi dapat digeneralisasikan seperti berikut; ∑ _j ∑ _k a _jk = ∑ _{j, k} a _jk.

Juga, penjumlahannya mengikuti banyak peraturan algebra. Oleh kerana operasi penyisipan adalah penambahan, banyak peraturan algebra umum dapat diterapkan pada jumlah itu sendiri dan untuk istilah individu yang digambarkan oleh penjumlahan.

Lebih banyak mengenai Integrasi

Integrasi ditakrifkan sebagai proses pembezaan terbalik. Tetapi dalam pandangan geometri, ia juga dapat dianggap sebagai kawasan yang diliputi oleh lekukan fungsi dan sumbu. Oleh itu, pengiraan luas memberikan nilai kamiran pasti seperti yang ditunjukkan dalam rajah.

Sumber Imej:

Nilai kamiran pasti sebenarnya adalah jumlah jalur kecil di dalam lengkung dan paksi. Luas setiap jalur adalah tinggi × lebar pada titik pada paksi yang dipertimbangkan. Lebar adalah nilai yang dapat kita pilih, katakan ∆x. Dan ketinggian adalah kira-kira nilai fungsi pada titik yang dipertimbangkan, katakan f (x _i). Dari gambar rajah, dapat dilihat bahawa semakin kecil jalur yang lebih baik jalurnya sesuai dengan kawasan yang dibatasi, maka penghitungan nilainya lebih baik.

Jadi, secara amnya integral pasti, antara titik a dan b (iaitu pada selang [a, b] di mana1) Δx + f (x ₂) Δx + ⋯ + f (x _n) Δx, di mana n adalah bilangan jalur (n = (ba) / Δx). Penjumlahan kawasan ini dapat diwakili dengan mudah menggunakan notasi penjumlahan sebagai I ≅ ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x. Oleh kerana penghampirannya lebih baik apabila ∆x lebih kecil, kita dapat menghitung nilainya ketika ∆x → 0. Oleh itu, adalah wajar untuk mengatakan I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x.

Sebagai generalisasi dari konsep di atas, kita dapat memilih ∆x berdasarkan selang yang dipertimbangkan yang diindeks oleh i (memilih lebar kawasan berdasarkan kedudukan). Kemudian kita dapat

I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) Δx _i = _a ∫ ^b f (x) dx

Ini dikenali sebagai Reimann Integral fungsi f (x) dalam selang waktu [a, b]. Dalam kes ini a dan b dikenali sebagai batas atas dan batas bawah integral. Reimann integral adalah bentuk asas dari semua kaedah penyatuan.

Pada hakikatnya, integrasi adalah penjumlahan kawasan apabila lebar segi empat kecil.

Apakah perbezaan antara Integrasi dan Penjumlahan?

• Penjumlahan menambah urutan nombor. Biasanya, penjumlahan diberikan dalam bentuk ini ∑ ⁿ _{i = 1} a _i apabila istilah dalam urutan mempunyai corak dan dapat dinyatakan menggunakan istilah umum.

• Integrasi pada dasarnya adalah kawasan yang dibatasi oleh lengkung fungsi, paksi dan had atas dan bawah. Kawasan ini dapat diberikan sebagai jumlah kawasan yang jauh lebih kecil yang termasuk dalam kawasan batas.

• Penjumlahan melibatkan nilai diskrit dengan batas atas dan bawah, sedangkan penyatuan melibatkan nilai berterusan.

• Integrasi dapat ditafsirkan sebagai bentuk penjumlahan khas.

• Dalam kaedah pengiraan berangka, integrasi selalu dilakukan sebagai penjumlahan.