Perbezaan Antara Riemann Integral Dan Lebesgue Integral

2024 Pengarang: Mildred Bawerman | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-16 08:40

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integrasi adalah topik utama dalam kalkulus. Dalam erti kata yang lebih jelas, integrasi dapat dilihat sebagai proses pembezaan terbalik. Semasa memodelkan masalah dunia nyata, mudah untuk menulis ungkapan yang melibatkan terbitan. Dalam situasi seperti itu, operasi integrasi diperlukan untuk mencari fungsi, yang memberikan turunan tertentu.

Dari sudut lain, integrasi adalah proses, yang merangkum hasil dari fungsi ƒ (x) dan δx, di mana δx cenderung menjadi had tertentu. Inilah sebabnya, kami menggunakan simbol integrasi sebagai ∫. Simbol in sebenarnya, apa yang kita peroleh dengan membentangkan huruf s untuk merujuk kepada jumlah.

Riemann Integral

Pertimbangkan fungsi y = ƒ (x). Kamiran y antara a dan b, di mana a dan b tergolong dalam set x, ditulis sebagai _b ∫ ^a ƒ (x) dx = [F (x)] _{a → b} = F (b) - F (a). Ini disebut integral pasti fungsi tunggal dan nilai berterusan y = ƒ (x) antara a dan b. Ini memberikan kawasan di bawah lengkung antara a dan b. Ini juga disebut Riemann integral. Integrasi Riemann dicipta oleh Bernhard Riemann. Riemann integral dari fungsi berterusan berdasarkan ukuran Jordan, oleh itu, ia juga didefinisikan sebagai had jumlah Riemann fungsi. Untuk fungsi bernilai nyata yang ditentukan pada selang waktu tertutup, Riemann integral fungsi berkenaan dengan partisi x ₁, x ₂,…, x _nditakrifkan pada selang [a, b] dan t ₁, t ₂,…, t _n, di mana x _i ≤ t _i ≤ x _{i + 1} untuk setiap i ε {1, 2,…, n}, jumlah Riemann ditentukan sebagai Σ _{i = o hingga n-1} ƒ (t _i) (x _{i + 1} - x _i).

Lebesgue Integral

Lebesgue adalah jenis integral yang lain, yang merangkumi pelbagai kes daripada yang dilakukan oleh integral Riemann. The lebesgue integral diperkenalkan oleh Henri Lebesgue pada tahun 1902. Integrasi Legesgue dapat dianggap sebagai generalisasi integrasi Riemann.

Mengapa kita perlu mengkaji integral yang lain?

Mari kita pertimbangkan fungsi ciri ƒ _{A (x) =} { _{0 if, x not ε A} ^{1 if, x ε A} pada satu set A. Kemudian gabungan linear fungsi fungsi yang ditentukan, yang ditakrifkan sebagai F (x) = Σ a _i ƒ E _i (x) dipanggil fungsi mudah jika E _i dapat diukur untuk setiap i. The Lebesgue integral dari F (x) di atas E dilambangkan oleh _E ∫ ƒ (x) dx. Fungsi F (x) tidak dapat disepadukan oleh Riemann. Oleh itu Lebesgue integral adalah menyusun semula Riemann integral, yang mempunyai beberapa batasan pada fungsi yang akan disatukan.

Apakah perbezaan antara Riemann Integral dan Lebesgue Integral?

· The Lebesgue integral adalah bentuk generalisasi Riemann integral.

· Integral Lebesgue memungkinkan bilangan tak terhingga yang tidak dapat dihitung, sementara bilangan bulat Riemann memungkinkan jumlah penghentian yang terbatas.